Posters
Esta sección estará compuesta de cuatro sesiones paralelas, descritas a continuación. En cada sesión los expositores presentarán su trabajo de manera continua, de modo que sea posible visitar las cuatro para todos los participantes.
Estructura superintegrable en los espacios moduli de conexiones planas
Expositores:
Miroslava Mosso Rojas
Ethan Campos Méndez
Eduardo Calep Velázquez López
UNAM, Facultad de Ciencias C.U.
y Universidad de Mainz
Resumen:
El trabajo consiste en estudiar los sistemas Hamiltonianos superintegrables en espacios móduli de conexiones planas el cual está basado principalmente en el paper publicado por N. Reshetikhin y S. Arthamanov, arXiv:1909.08682v1 [math-ph]. Primero trabajamos de niendo al espacio móduli en términos topológicos como una character variety, a partir del grupo fundamental asociado a la super cie de Riemann en cuestión. Debido a que el espacio móduli puede estudiarse como una variedad algebr aica que admite una estructua de Poisson, puede asociarse al espacio fase de un sistema dinámico clásico. Posteriormente construimos el álgebra de funciones del espacio móduli en términos de grafos coloreados. Debido a que el espacio móduli tiene una estructura de Poisson, se encuentra equipado con un bracket de Poisson muy particular, llamado el bracket de Goldman, el cual trabaja con las trazas de representaciones de los loops que constituyen al grupo fundamental de nuestra super cie de Riemann. El bracket de Goldman toma valores en el algebra de funciones del espacio móduli. Una vez construído el espacio móduli, de nimos las estructuras superintegrables geom etricamente, para después darle una descripción algebráica, la cual consiste en una cadena de inclusiones de subálgebras de Poisson. Estas sub algebras consisten en el álgebra de funciones del espacio móduli, el álgebra de primeras integrales, el álgebra de Hamiltonianos y el centro del algebra de funciones. Cuando la subálgebra de Hamiltonianos coincide con la subálgebra de primeras integrales no tenemos superintegrabilidad, pero obtenemos un sistema integrable de Liouville.Finalmente, definimos a los sistemas superintegrables afines, los cuales consideran componentes de frontera en las superficies de Riemann. Presentamos tres ejemplos: El toro con un componente de frontera y con el grupo de Lie SL(2;C); el toro con dos componentes de frontera y G = SL(3;C); y el toro con dos componentes de frontera y G = SL(2;C). Para dichos ejemplos estudiamos sus espacios móduliy encontramos las relaciones polinomiales necesarias para construir el álgebra de funciones, ya que podemos describirlo como un anillo de coordenadas en términos de las tazas de los loops. Estudiamos también sus estructuras superintegrables en términos geométricos
y algebráicos.
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Dinámica de la interacción tritrófica con compuestos orgánicos volátiles en plantas y difusión no local.
Expositor: Arturo Javier Nic May
Universidad Autónoma de Yucatán
Resumen:
Un factor importante al analizar el comportamiento de un sistema biológico es el movimiento y distribución espacial de los individuos de una población en una región dada. Se pueden utilizar varios enfoques para incorporar heterogeneidad espacial, uno de ellos es a través ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (PDE) conocidas como ecuaciones de reacción- difusión. Pero esta modela esencialmente la difusión aleatoria de cada Individuo en las posiciones espaciales adyacentes. Sin embargo, los movimientos de los organismos son a menudo libres y no deben limitarse a un área pequeña. En la actualidad, el proceso de difusión también es descrito por operadores integrales (operador de difusión no local) que modelan el movimiento de especies entre ubicaciones espaciales no adyacentes.
En esta poster se presentará un modelo espacial tritrófico que describe la interacción entre planta, plaga y el enemigo natural de la plaga, donde el movimiento de la plaga y el enemigo natural de la plaga es descrito por un operador de difusión no local. Además consideramos que los compuestos orgánicos volátiles (COVs) liberados por las plantas juegan un papel importante. Se mostrará el análisis de estabilidad de los puntos de equilibrio de este modelo, así como algunos resultados sobre la persistencia uniforme. Finalmente, presentamos algunas simulaciones numéricas para ilustrar nuestros resultados analíticos.
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Análisis Topológico de Datos Aplicado a Series de Tiempo
Expositores: Luis Ramón Munive Hernández y Rodrigo Zúñiga
Universidad Autónoma Metropolitana
Resumen
El análisis topológico de datos (ATD) se refiere a una variedad de métodos estadísticos que encuentran una estructura topológica en conjuntos de datos [Wasserman, 2018] y esta es un área emergente para el análisis complejo de datos. ATD combina topología algebraica y otras herramientas de matemáticas puras para per- mitir un estudio útil de la forma de los datos. El desarrollo del ATD para series de tiempo es un área relativamente nueva y de rápido crecimiento con una amplia variedad de aplicaciones.
La homología persistente es una clase de métodos para medir características topológicas de formas y pro- porciona una herramienta clásica y poderosa para construir diagramas de persistencia cuyos puntos pueden interpretarse como características homológicas de un conjunto de datos. Estos diagramas de persistencia se obtienen de familias anidadas de subespacios o complejos simpliciales (los complejos Čech y Vietoris-Rips se utilizan ampliamente).
Las series de tiempo, naturalmente, no tienen representaciones de nubes de puntos. Para poder resolver este inconveniente se considera la transformación de una serie temporal a una nube de puntos a través del teorema de embebimiento de Takens, lo que garantiza la preservación de las propiedades topológicas de la serie temporal. De esta forma, su transformación permite obtener diagramas de persistencia.
En este póster exploramos los diagramas de persistencia para series de tiempo de: sistemas dinámicos caóticos, sistemas dinámicos no caóticos, procesos estocásticos estacionarios y procesos estocásticos no es- tacionarios, esto se lleva a cabo con el paquete TDA del lenguaje R y se pretende dar a conocer posibles relaciones entre estos conjuntos de datos.
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Geometria métrica de espacios de diagramas de persistencia
Expositor: Mauricio Che , Durham University, UK
Resumen:
Un concepto fundamental en el análisis topológico de datos (TDA) es el de los diagramas de persistencia. Estos son representaciones gr ́aficas de los módulos de homologia persistente, los cuales pueden pensarse como formalismos de la topologia algebraica que capturan los rasgos topológicos de un conjunto de datos visto a diferentes escalas, es decir, a lo largo de una filtración. Dado un mismo conjunto de datos, no obstante, es posible obtener diferentes diagramas de persistencia dependiendo de la filtraci ́on, de modo que resulta natural estudiar el espacio de posibles diagramas de persistencia.
Una parte de mi proyecto de doctorado consiste en explorar aplicaciones de la geometrıa métrica al TDA. En [1], en colaboracio ́n con Fernando Galaz-Garcıa (Durham University), Ingrid Membrillo Solis (University of Southampton) y Luis Guijarro (Universidad Auto ́no- ma de Madrid), y basados principalmente en [2, 3, 4], estudiamos desde un punto de vista geométrico la construcción
de una familia de funtores que comen pares de espacios métricos (X,A) y arrojan espacios de diagramas de persistencia Dp(X,A). En particular, demostra- mos un resultado de continuidad respecto a la convergencia Gromov-Hausdor↵, asi como la invarianza de algunas propiedades m ́etricas bajo dicha familia de funtores.