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Una perspectiva topológica de los grupos finitos
Alejandro Adem, University of British Columbia
Entender las simetrías de una variedad compacta es un problema clásico en las matemáticas. En esta ponencia describiré como se puede estudiar esto usando metodos de la topología algebraica. Despues de presentar los resultados ya clásicos, introduciremos una versión homotópica de las acciones de grupos. Esto conduce a interacciones interesantes entre la topología, la teoría de grupos y la teoría de representaciones. Daremos varios ejemplos concretos.
Destruyendo árboles aleatorios
Gabriel Berzunza, University of Zürich
Recordemos que un árbol aleatorio es una gráfica conectada (conjunto de vértices y ejes) sin ciclos construida a partir de algún procedimiento aleatorio. En esta plática discutiremos dos procedimientos para la destrucción de un árbol aleatorio. La primera relacionada con un modelo simple de percolación en árboles conocida como percolación de Bernoulli. La segunda emerge de forma más natural y consiste en destruir el árbol removiendo sus ejes uno después del otro de manera aleatoria. El objetivo de esta presentación es describir la relación entre estos dos modelos, al igual que presentar algunos problemas de interés en esta área.
Equilibrio de Nash en juegos repetidos con información incompleta
Ivonne Callejas Arellano, Georg-August-Universität Göttingen
La teoría de juegos es el punto de equilibrio entre la economía y la matemática. Pero ¿qué es lo que busca la teoría de juegos? En esta plática describiremos con algunos ejemplos cómo pasamos de modelos económicos a modelos puramente matemáticos para describir qué es lo que se hace en teoría de juegos. También hablaremos de cómo herramientas de la topología han ayudado a solucionar problemas económicos, especialmente en juegos infinitamente repetidos con información incompleta.
¿Cómo utilizar métodos multiscala para simular eficientemente campos electromagnéticos en aplicaciones geofísicas?
Luz Angélica Caudillo Mata, University of British Columbia
La simulación de campos electromagnéticos en medios altamente heterogéneos es una de las herramientas numéricas más importantes en prospección geofísica. Actualmente, esta herramienta se usa con fin comercial, principalmente, en la identificación y caracterización de yacimientos de minerales y de petróleo.
En práctica, uno de los principales retos al usar esta herramienta es el excesivo costo computacional que resulta de simular campos electromagnéticos de modelos geofísicos realistas. La discretización de éstos modelos requiere usar mallas muy finas. Los modelos geofísicos realistas consideran la compleja geología relevante del medio, la cual es altamente heterogénea, e incluyen partes con variación sobre varias escalas de longitud. Estos dos factores influyen significativamente en el comportamiento de los campos electromagnéticos resultantes y deben ser adecuadamente considerados durante el proceso de mallado para que la simulación nos de un resultado preciso. En particular, la malla usada en técnicas de discretización tradicionales, tales como elemento finito o volumen finito, se refina lo suficiente tal que capture la estructura de la heterogeneidad del modelo detalladamente. Esto conlleva al uso de mallas grandísimas y el problema se traduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales grandísimos (del orden de millones o billones de ecuaciones).
Una alternativa para simular eficientemente los campos electromagnéticos en estos casos es usar métodos multiscala. Estos métodos forman parte de la familia de métodos de reducción de dimensionalidad, los cuales aspiran a reducir el tamaño del sistema de ecuaciones lineales que será finalmente resuelto. Estos métodos han sido extensivamente estudiados y exitosos en la comunidad de dinámica de fluidos computacional para resolver el problema de simular eficientemente fluidos en medios porosos. Durante el doctorado, me he dedicado a estudiar estos métodos y a expandir su aplicación al campo de la geofísica electromagnética. En esta plática describiré dos métodos multiscala que he desarrollado para ser aplicados a las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia y mostraré los resultados obtenidos en un caso de estudio en el contexto minero.
Una predicción de las decisiones de planeación familiar de las mujeres de escasos recursos en Texas
Imelda Florez Vázquez, Texas
Los primeros 15 minutos de la platica serán un resumen completo del articulo. Explicaré las implicaciones en políticas públicas y de bienestar social de las posibles respuestas a la pregunta que se investiga, daré un breve resumen del programa de planeacion familiar en Texas y de las mujeres de quienes obtuvimos datos para el estudio, presentaré el modelo que usamos para entender las decisiones de planeacion familiar de las mujeres asi como las tecnicas computacionales que usamos para estimar los parametros del modelo, finalizaré los 15 minutos de introducción hablando de los posibles experimentos contrafactuales que se pueden hacer usando la herramienta que planeamos crear una vez terminada la estimación del modelo.
Los restantes 35 minutos seran de detalles sobre el modelo y en general los modelos economicos estructurales donde las opciones del agente economico son discretas (en este caso un numero natural de anticonceptivos y un numero natural de clinicas de planeacion familiar) y el agente tiene que tomar en cuenta estados en el futuro para optimizar su decision (embarazarse o no embarazarse afecta el futuro economico y personal de la mujer), estos modelos son los llamados modelos dinamicos estrucurales de decisión discreta. Explicaré los atajos que usamos para hacer la estimacion mas rapida sin perder consistencia estadistica (inspirados en el articulo de Aguirregabiria y Mira). También hablaré de cada paso de la estimación computacional.
Acciones del toro en variedades con curvatura no negativa y racionalmente elípticas
Fernando Galaz García, Karlsruher Institut für Technologie
La clasificación de variedades riemannianas con curvatura secciona positiva o no-negativa es un problema difícil. Para hacerlo más manejable, uno puede primero esudiar estas variedades suponiendo simetría, por ejemplo, una acción isométrica de un toro. En este contexto, existen varias clasificaciones topológicas en dimensiones bajas. En general, se conjetura que si un toro $T^k$ actúa de manera efectiva y por isometrías en una $n$-variedad riemanniana compacta, simplemente conexa con curvatura no-negaiva, entonces $k\leq \lfloor 2n/3 \rfloor$. Por otra parte, la cojetura de Bott, una conjetura central en geometría riemanniana, afirma que toda variedad copacta, simplemente conexa con curvatura seccional no-negativa debe de ser racionalmente elíptica, es decir, sólo un número finito de grupos de homotopía racional $\pi(M)\otimes \mathbb{Q}$ no son cero. En este contexto más general, uno puede probar que la cota hipotética para el rango de un toro que actúa en una variedad compacta, simplemente conexa y con curvatura no-negativa se cumple para variedades compactas, simplemente conexas y racionalmente elípticas. Aún más, uno puede clasificar el tipo de homotopía racional de las variedades compactas y racionalmente elípticas que admiten una acción de rango máximo. En esta plática hablaré sobre estos resultados partiendo de ejemplos sencillos y enfatizando las ideas geométricas detrás de estos resultados.
Teselaciones y cuasicristales usando teoria ergódica
Felipe García Ramos, Instituto de Matemática Pura e Aplicada y Universidad de São Paulo, Brasil
Vamos a platicar de teselaciones aperiódicas y cuasicristales desde el punto de vista de los sistemas dinámicos y la teoría ergódica. En particular nos enfocaremos herramientas de análisis funcional que ayudan a entender el orden a largo alcance.
Sobre un estudio cualitativo y cuantitativo de algunas ecuaciones diferenciales en el plano
Johanna Denise García Saldaña, Universidad Católica de la Santísima Concepción, Chile
En esta charla hablaremos de algunas herramientas que son utilizadas para conocer propiedades, tanto cualitativas como cuantitativas, de las soluciones de ecuaciones diferenciales en el plano. Expondremos algunos problemas que involucran el estudio de estos dos aspectos. Además, de forma más específica, nos enfocaremos en el problema de obtener el diagrama de bifurcación, en la esfera de Poincaré, de familias 1-paramétricas de ecuaciones diferenciales polinomiales. Para esto, estudiaremos el número y tipo de puntos críticos, el número de ciclos límite, los valores de bifurcación, etc. Algunas de las técnicas que mostraremos se basan en la construcción de curvas algebraicas sin contacto
por el flujo de la ecuación diferencial.
La conjetura de Ramanujan
Luis Lomelí, Universidad Católica de Valparaíso
Comenzando con la versión clásica de la conjetura sobre formas modulares, daremos una perspectiva histórica de su solución. Después, pasaremos al problema abierto que inclye a las formas de Maass y sus generalizaciones a representaciones automorfas. Este último enfoque moderno se encuentra entre la teoría de números y la teoría de representaciones, en particular el programa de Langlands. Hablaremos de progreso reciente, sobre las cotas conocidas para Ramanujan. También, abordaremos la conjetura sobre un campo global de funciones, la cual podemos demostrar para los grupos clásicos.
Desigualdades de concentración en los sistemas dinámicos y
algunas aplicaciones
César Maldonado, Universidad de Chile
En general, las desigualdades de concentración son cotas superiores en la
probabilidad de desvío de ciertas funciones de variables aleatorias
respecto a su valor esperado. En el contexto de los sistemas dinámicos,
las iteradas de una condición inicial bajo la dinámica juega el papel de
variable aleatoria. A pesar de la dependencia entre las variables, para
una gran variedad de sistemas es posible obtener desigualdades de
concentración. Como corolario, estas desigualdades permiten describir las
fluctuaciones de observables generales y obtener cotas válidas a tiempos
finitos de observación, en ese sentido, ofrecen una ventaja práctica
respecto a las leyes límite.
En esta charla describiré brevemente un panorama de los resultados
disponibles sobre concentración en los sistemas dinámicos y hablaré sobre
algunas aplicaciones interesantes.
Ciencia de datos en la práctica: segmentación conductual de mercado
Juan Pablo Maldonado, O2, República Checa
En esta platica mostraremos las herramientas matematicas y computacionales utilizadas en la practica para analizar los intereses y patrones de comportamiento de usuarios de internet, con el fin de encontrar segmentos especificos de mercado.
Estudio topológico de los grupos gauge de haces principales sobre ciertas 7-variedades 2 conexas
Ingrid Amaranta Membrillo Solís, University of Southampton
Durante los últimos 30 años, la topología de los grupos de gauge ha jugado un papel importante dentro de las matemáticas y la física-matemática. Recientemente Donaldson ha sentado de manera formal las bases para desarrollar la teoría gauge en dimensiones altas.
Sea P un G-espacio y M una variedad. En esta plática voy presentar resultados respecto a la clasificación de G-fibrados principales (P, M, G, p) cuando M es un cierto tipo de 7-variedad 2-conexa y G es un grupo de Lie. Asimismo presentaré resultados sobre los tipos homotópicos de los grupos de gauge asociados a estos haces.
Análisis de algoritmos en gráficas aleatorias
Mariana Olvera, Columbia University
Esta plática está inspirada en el análisis del algoritmo PageRank, creado por Google para evaluar la importancia de páginas web. Desde el punto de vista matemático, PageRank es la solución a un sistema de ecuaciones lineales en n variables, donde n es el número de páginas web en el ciberespacio. La meta del análisis es describir, de manera cualitativa, la distribución de los resultados calculados por PageRank, y explicar cómo son influenciados por las diferentes características de la gráfica en la cual fueron calculados. Dado el gran número de páginas web que existen, y su naturaleza continuamente cambiante, el análisis de este tipo de problemas se hace usualmente en modelos de gráficas aleatorias capaces de replicar las características más importantes del WWW. Durante la plática discutiré una familia de gráficas aleatorias donde uno puedo escoger la distribución de los grados de los vértices, y en la cual podemos demostrar que la distribución de los resultados obtenidos por PageRank convergen, cuando el número de vértices tiende a infinito, a la solución endógena a una ecuación lineal estocástica. También hablaré de como esta ecuación lineal estocástica explica la relación entre los resultados obtenidos por PageRank y las características de la gráfica en la que fueron calculados, en particular, la forma en que PageRank es influenciado por los grados incidentes de los vértices.
¿Qué es una singularidad gravitacional?
Yafet Sanchez Sanchez, University of Southampton
La forma más precisa de determinar la ruptura de la Relatividad General (RG) es muy sutil. Desde los famosos resultados de Hawking y Penrose, las limitaciones de RG son asociados a la formación de singularidades que se caracterizan en términos de geodésicas incompletas. Sin embargo, hay muchos ejemplos físicos de espacio-tiempos donde la métrica esta por debajo de
C^{1,1} y por lo tanto desde una perspectiva matemática la existencia y unicidad de las geodésicas no está garantizada.
En esta charla, vamos a explorar la idea de definir una singularidad gravitacional como una obstrucción a la evolución dinámica de un campo de prueba (descrito por una ecuacion diferencial parcial) en lugar de la evolución dinámica de una partícula (descrito por un geodésica). Además, mostraremos que en cierta clase de espacio-tiempos singulares, la ecuación de onda en el espacio de Sobolev H^{1} está bien definida. Este espacio de funciónes se eligio, ya que permite definir el tensor de energía-momento como una distribución.
En particular, la clase de espacio-tiempos singulares considerados satisfacen la condición de que la curvatura, aunque divergente, se puede definir como una distribución con soporte en una subvariedad de codimensión uno o codimensión dos. Por ejemplo, espacio-tiempos que contiene delgados cascarones de materia pertenecen a la clase de codimensión uno, mientras singularidades en forma de cuerda pertenecen a la clase de codimensión dos.
Optimización Global Bayesiana
Saúl Toscano Palmerín, Cornell University
Esta plática es acerca de una herramienta matemática llamada Optimización Global Bayesiana, y sobre su uso en la resolución de problemas que enfrentan compañías como Citi Bike, Yelp y SigOpt. Dichas compañías están interesadas en optimizar funciones donde cada evaluación cuesta mucho dinero y/o tiempo, y en ciertas ocasiones sólo es posible obtener aproximaciones del valor de dichas evaluaciones. Todas las compañías anteriores se encuentran con el problema anterior cuando desean utilizar modelos de “machine learning”, y/o cuando desean resolver un tipo de problema conocido como “simulation optimization”. Por ejemplo, Citi Bike se enfrenta al problema anterior cuando desea encontrar la manera óptima de acomodar las bicicletas en las diferentes estaciones de la ciudad de Nueva York.
Álgebras de caminos de superficies: propiedades algebraicas y geométricas
Yadira Valdivieso-Díaz, Universidad Nacional del Mar del Plata
En Teoría de Representaciones, las álgebras de caminos, es decir, álgebras que se construyen utilizando gráficas orientadas y finitas (carcajes), suelen ser uno de los primeros ejemplos con los que se trabajan por su naturaleza combinatoria y por su importancia en el estudio de álgebras de dimensión finita. Además, este tipo de álgebras aparecen en otras áreas como a la física y geometría algebraica.
En esta charla construiremos un álgebra de caminos a partir de superficies conexas, compactas y 2-dimensionales de Riemann con puntos marcados y mostraremos algunos ejemplos de cálculos algebraicos que tienen una interpretación geométrica en las superfices.
Desencadenando enlaces de ADN
Mariel Vázquez, University of California, Davis
Procesos celulares como la recombinación y la transcripción cromosómica afectan la topología del ADN. Controlar los cambios topológicos es esencial para asegurar la estabilidad de la célula. Este control es mediado por enzimas como las recombinasas de sitio específico y las topoisomerasas. La bacteria Escherichia coli tiene un solo cromosoma circular, cuya replicación produce dos cromosomas que llevan el mismo código genético que el cromosoma inicial, pero cuyos ejes están topológicamente enlazados. El proceso de separar estos cromosomas (reduciendo su complejidad topológica) es fundamental para la supervivencia cellular. Este proceso es mediado por enzimas. Nuestro grupo estudia los mecanismos de acción de estas enzimas, así como las trayectorias óptimas de desencadenamiento. Usamos herramientas de matemática pura (teoría de nudos, topología en bajas dimensiones), así como herramientas computacionales (simulaciones Monte Carlo, física de polímeros, topología computacional, visualización).